Anàlisi de camps elèctrics i potencial elèctric: exercicis resolts

1. Moviment d'una càrrega en un camp elèctric

a) Velocitat de la càrrega

Direcció horitzontal: moviment uniforme: v_t = L. Direcció vertical: moviment uniformement accelerat: 1/2·a·t² = D/2, a = F/m = q·E/m. Llavors, 1/2·a·t² = D/2, t² = D/a = D·m/q·E, t = √(D·m/q·E). Finalment, v = L/t = √(L²·q·E/D·m) = 3,98·10⁷ m/s.

b) Treball realitzat

W = F·D/2 = q·E·D/2 = 8,01·10^-17 J.

2. Equilibri de forces entre càrregues

a) Posició d'equilibri

Esquema de les forces que actuen sobre la càrrega C. Distància A-C: x, Distància C-B: 1-x, ∑F_c = 0, F_ac = -F_bc, K·q_a·q_c/x² = K·q_b·q_c/(1-x)², (1-x/x)² = q_b/q_a, x = 1/(1+√(q_b/q_a)) = 0.41 m.

b) Diferència de potencial

V_i = k·q_a/|x| + k·q_b/|1-x| = -1,05·10⁵ V, V_f = k·q_a/0,5 + k·q_b/0,5 = -1,08·10⁵ V, ∆V = -3·10³ V.

3. Forces i energia potencial en un sistema de tres càrregues

a) Força total

F_ab i F_cb són iguals i de sentit contrari: F_ab + F_cb = vector que només tindrà component horitzontal: |F_ab| = |F_cb| = k·q²/l² = 0,3 N, Angle F_ab i F_cb = 120º: F_xab = F_xcb = |F_ab|·cos60º = 0,15 N. Conclusió: F_t = 0,3i N.

b) Energia potencial i treball

E_pot.tot = E_p(AB) + E_p(AC) + E_p(BC) = k·q²/l - k·q²/l - k·q²/l = -9·10⁹·10^-10/√3 = -0,3·√3 J = -0.52 J. Treball: W = q(V_f - V_i), V_f = K·(q/1/2) - K·(q/1/2) = 0, V_i = K·(q/l) - K·(q/l) = 0.

4. Camp elèctric i forces sobre una càrrega

a) Camp elèctric

∆V = E·d, E = ∆v/d = 200/20·10^-3 = 10 000 N/C, E direcció horitzontal, cap a la dreta, el camp va de potencials alts a potencials baixos.

b) Angle d'equilibri

p = mg = 20·10^-3·9,80 = 0,20 N, F_e = qE = 15·10^-6·10⁴ = 0,15 N, p = Tcosα i F_e = Tsinα, tgα = F_e/p = 0,765, α = 37,4º.

5. Camp i potencial elèctric creat per dues càrregues

a) Camp elèctric

E_A = E_1A + E_2A; φ = 45º; E = K·(q/r²), |E_1A| = |E_2A| = 9·10⁹·((|-1,6·10^-19|)/((30·10^-9)²+(30·10^-9)²) = 8·10⁵ N/C, |E_1Ay| = |E_2Ay| = 8·10⁵·cos45º = 5,66·10⁵ N/C. Com que E_1Ax = -E_2Ax, E_Ax = 0, E_Ay = -2|E_A1y| = -1,13·10⁶ N/C.

b) Treball realitzat

V = K·(q/r); V_a = V_a1 + V_a2 = -0,068 V; V_o = V_o1 + V_o2 = -0,096 V; W_a-o = -∆E_p = -Q∆V = -Q(V_o-V_a) = -3,2·10^-19·(-0,096-(-0,068)) = 8,96·10^-21 J. El treball el realitzen les forces del camp.

6. Camp elèctric i potencial creat per tres càrregues

r_0A = √(a²+a²) = 0,15·√2 m.

a) Camps elèctrics

E₁ = k·(Q₁/a²) = 4·10⁵ N/C, E₃ = E₁ = 4,5·10⁵ N/C; E₂ = k·(Q₂/r_0A²) = 4·10⁵ N/C.

b) Potencials i treball

V₁ = k·(Q₁/a) = 6·10⁴ V, V₂ = k·(Q₂/a·√2) = -8,48·10⁴ V, V₃ = k·(Q₃/a) = 6·10⁴ V, treball realitzat per un agent extern.

7. Càlcul de càrrega i energia potencial

a) Càrrega Q

E = K·(Q/r²). 1. E₁ = K·(Q₁/x₁²) = 9·10³ N/C, 2. E₂ = K·(|Q₂|/x₂²) = 3/4·9·10³ N/C, E₁ = E₁i; E₂ = E₂i; E_Q = -(E₁+E₂) = -(E₁+E₂)·i. Q ha de ser positiva; E_q = E₁ + E₂ = 7/4·9·10³ N/C, E_q = K·(Q/4²), Q = 28 μC.

b) Energia potencial

U = qV; V₁ = k·(Q₁/r₁) = 6000 V, V₂ = k·(Q₂/r₂) = -13500 V. U = qV = 28·10^-6·(6000-13500) = -0,21 J.

8. Camp elèctric a partir d'una gràfica de potencial

a) Diferència de potencial

V(0) = 100V (gràfica), V(10cm) = 700V, ∆V = 700-100 = 600V.

b) Camp elèctric

Equació recta: V = 60x + 100, (V en V, x en cm), E constant (∆V = Ed) i val E = ∆V/d = 600/0,1 = 6000 N/C.