Apunts, resums, treballs, exàmens i problemes de Matemàtiques

Raó i proporció

Raó: Una raó entre dos nombres és el cocient a/b.

Proporció: Una proporció és la igualtat entre dues raons.

Proporcions:

• A i B = extrems
• B i C = mitjans

En una proporció, el producte d'extrems és igual al producte de mitjans.

Terme desconegut d'una proporció

Per resoldre un terme desconegut en una proporció s'utilitza la propietat: el producte d'extrems = producte de mitjans.

Regla de tres simple inversa

La regla de tres simple inversa és un procediment per trobar una quantitat desconeguda que forma una proporció amb altres quantitats conegudes, corresponents a dues magnituds inversament proporcionals.

Magnituds directament i inversament proporcionals

Magnituds directament proporcionals

Dues magnituds són directament proporcionals...

Regla de símbols:

+ i + = + + i - = -

- i - = + - i + = -

Calcul de potencies:
(multiplicar tantes vegades la base com indica l'exponent)

4 elevat a 0= 4 elevat a 1
45 elevat a 1= 45
-4 elevat a 2= -4 · 4= -16
3 elevat a 2= 3 · 3= 9
(-4) elevat a 3= (-4) · (-4) · (-4)= -16 (- i -=+/ + i - = -)

Operacions de potencies amb les mateixes bases:

Les operacions es fan amb l'exponet i la base es manté:
Multiplicar: els exponents es sumen.
Dividir: els exponents es resten.
Parentesis: els exponents es multiplican

Arrel quadrada:
Tenim presents unes cuantas potencies elevades a 2 i b usquem el nombre que més s'ap roxima a l'arrel .
Aquest nombre sense ser elevat (la base) sera el resultat. Per calcular el residu li restem a l'arrel...

Modelització de Sistemes Dinàmics

La modelització de sistemes consisteix en crear un model matemàtic d’un sistema dinàmic. Aquest model és un conjunt d’equacions que representen la dinàmica del sistema. Cal tenir en compte que, per a un sistema donat, no existeix un model matemàtic únic i no sempre és possible trobar un model adequat. És important buscar models senzills, tenint en compte que la majoria de models són vàlids per a determinats marges de treball.

Avantatges de la Modelització

• Facilita el disseny de controladors.
• Permet fer simulacions sense utilitzar el procés real.

La representació més típica és la funció de transferència, obtinguda mitjançant la transformada de Laplace. La variable complexa ‘s’ té un...

Límits Laterals

La relació entre els límits laterals i el límit en un punt a és:

• Si lim_x→a^- f(x) ≠ lim_x→a⁺ f(x) ⇒ No existeix lim_x→a f(x).
• Si lim_x→a^- f(x) = lim_x→a⁺ f(x) = L ⇒ lim_x→a f(x) = L.

Cal calcular límits laterals si:

• És una funció definida a trossos i s'estudia el límit en el punt de canvi.
• El límit resulta en una expressió del tipus k / 0 amb k ≠ 0 (per determinar si és +∞, -∞ o no existeix).

Indeterminacions

Indeterminació 0/0

Per resoldre indeterminacions del tipus 0/0, generalment cal factoritzar els polinomis del numerador i denominador i després simplificar els factors comuns.

Exemple:

lim_x→2 (2x - 4) / (x² - 4)

Si substituïm x = 2, obtenim: (2 · 2 - 4) / (2² - 4) = (4 - 4) / (4 - 4) = 0 / 0 (Indeterminació)...

Un monomi és una expressió algebraica formada pel producte d'un nombre que anomenem coeficient, i una o diverses lletres elevades a un nombre natural, que formen la part literal del monomi. Les lletres de la part literal les anomenem variables.

El grau d'un monomi és l'exponent de la lletra que forma la part literal, si només n'hi ha una, o la suma dels exponents, si n'hi ha més d'una.

Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal. Si dos monomis són semblants tenen coeficients amb signe contrari, els anomenem oposats.

Un polinomi és una expressió algebraica formada per la suma o la resta de dos o més monomis no semblants.

El valor numèric d'un polinomi és el resultat que obtenim quan substituïm les lletres o variables

Càlcul del MCM i MCD

Per obtenir el mínim comú múltiple (MCM) de dos o més nombres, primer els descomponem en factors primers. Després, fem el producte dels factors comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran.

Per obtenir el màxim comú divisor (MCD) de dos o més nombres, primer els descomponem en factors primers. Després, multipliquem només els factors comuns elevats a l'exponent més petit.

Nombres Primers i Compostos

Els nombres primers són aquells que només tenen dos divisors: l'1 i ells mateixos. Exemples: 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Els nombres compostos són aquells que tenen més de dos divisors. Són els més freqüents.

Múltiples i Divisors

Els múltiples d'un nombre natural són els nombres naturals que resulten de multiplicar...

CE.M3 – Patrons i generalització

Criteri 1: Identificació de patrons

• N1: Té dificultats per reconèixer regularitats.
• N2: Reconeix patrons simples amb suport.
• N3: Identifica patrons de forma autònoma.
• N4: Reconeix i compara diferents tipus de patrons.

Criteri 2: Predicció i generalització

• N1: No pot predir resultats.
• N2: Fa prediccions senzilles amb ajuda.
• N3: Generalitza patrons correctament.
• N4: Formula regles generals i les justifica.

Criteri 3: Expressió de relacions matemàtiques

• N1: Expressa les relacions de manera poc clara.
• N2: Expressa regularitats senzilles.
• N3: Utilitza representacions adequades.
• N4: Expressa i argumenta relacions generals amb precisió.

CE.M2 – Raonament i prova

Criteri 1: Justificació de respostes

• N1: Dona respostes

Llenguatge matemàtic

Símbols i conceptes

El llenguatge matemàtic utilitza diversos tipus de símbols:

• Xifres: representen els nombres (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 i 9).
• Signes d'operacions: indiquen les operacions (+, -, x, :).
• Lletres: s'utilitzen per:
  • Expressar quantitats o mesures desconegudes.
  • Representar magnituds en les fórmules.

Una magnitud és qualsevol característica d'un cos que es pot mesurar. Una fórmula és una expressió formada per lletres, nombres i signes d'operacions que permet calcular els valors d'una magnitud a partir dels valors d'altres magnituds.

Llenguatge numèric i algèbric

El llenguatge numèric expressa la informació matemàtica només a través de nombres. Una expressió numèrica està formada per nombres relacionats...

Imatge: Per trobar la imatge d'un nombre per una funció, cal substituir la X de l'expressió algebraica pel nombre donat i calcular el valor numèric corresponent.

Antiimatge: Per trobar l'antiimatge d'un valor per a una funció, cal substituir f(X) o y a l'expressió algebraica per aquest valor i resoldre l'equació que en resulta.

Exemple: equació f(x)= x²-3x+1

Imatge: de 4      f(4)= 4²-3·4+1= 5

Antiimatge: de 1     1=x²-3x+1    =   x(x-3)     =    x=0    x= 3

Funció lineal: f(x)=ax, és una recta, passa pel punt (0,0). Si a > 0 la recta és creixent, si a < 0 la recta és decreixent.

Funció afí: f(x)=ax+b, és una recta, no passa pel punt (0,0). Si a > 0 és creixent, si a < 0 és decreixent.

Funció constant:...