MCM i MCD: càlcul, nombres primers i compostos

Resum

Aquest document explica els conceptes bàsics de la teoria de nombres: nombres primers i compostos, múltiples i divisors, descomposició factorial i divisió exacta. Després presenta el mínim comú múltiple (MCM) i el màxim comú divisor (MCD), amb el mètode per calcular-los a partir dels factors primers.

Punts clau

Un nombre primer només té dos divisors: l'1 i ell mateix; un nombre compost en té més de dos.
La descomposició factorial expressa un nombre com a producte de potències de nombres primers.
El MCM es calcula multiplicant els factors comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran.
El MCD es calcula multiplicant només els factors comuns elevats a l'exponent més petit.
Una divisió és exacta quan el residu és 0, és a dir, quan el dividend és múltiple del divisor.
Exemple: mcm(12, 15, 9) = 180 i mcd(18, 36, 81, 45) = 9.
Dos nombres són primers entre si quan el seu únic divisor comú és l'1.

Posa't a prova

Càlcul del MCM i MCD

Per obtenir el mínim comú múltiple (MCM) de dos o més nombres, primer els descomponem en factors primers. Després, fem el producte dels factors comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran.

Per obtenir el màxim comú divisor (MCD) de dos o més nombres, primer els descomponem en factors primers. Després, multipliquem només els factors comuns elevats a l'exponent més petit.

Nombres Primers i Compostos

Els nombres primers són aquells que només tenen dos divisors: l'1 i ells mateixos. Exemples: 2, 3, 5, 7, 11, 13...

Els nombres compostos són aquells que tenen més de dos divisors. Són els més freqüents.

Múltiples i Divisors

Els múltiples d'un nombre natural són els nombres naturals que resulten de multiplicar aquest nombre per altres nombres naturals.

Exemple: Múltiples de 7 = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, ...}

Els nombres compostos es poden escriure com a producte de potències de nombres primers. Aquesta és la seva descomposició factorial.

Divisió Exacta

Una divisió és exacta quan el residu és 0. Això vol dir que el dividend és múltiple del divisor. Exemple: 48:6 és una divisió exacta, però 65:9 no ho és.

Descomposició Factorial

Descompondre factorialment un nombre és expressar-lo com a producte de potències de nombres primers. Exemple: 63 = 3² · 7

Divisors

Els divisors d'un nombre són aquells nombres que el poden dividir de manera exacta (la divisió té residu 0).

Tots els nombres naturals són divisors de 0.
L'1 té un únic divisor, que és l'1.
Exemple: D(18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Mínim Comú Múltiple (MCM)

El mínim comú múltiple de dos o més nombres és el nombre més petit (sense tenir en compte el 0) que és múltiple de tots ells. Exemple: mcm(12, 15, 9) = 180

Màxim Comú Divisor (MCD)

El màxim comú divisor de dos o més nombres és el nombre més gran possible que és divisor de tots ells. Exemple: mcd(18, 36, 81, 45) = 9

Nombres Primers entre si

Quan dos nombres no tenen cap divisor comú a part de l'1, diem que són primers entre si.

Preguntes freqüents

Com es calcula el MCM de dos o més nombres?

Primer es descomponen els nombres en factors primers. Després es multipliquen els factors comuns i no comuns elevats a l'exponent més gran.

Com es calcula el MCD de dos o més nombres?

Es descomponen els nombres en factors primers i es multipliquen només els factors comuns elevats a l'exponent més petit.

Quina diferència hi ha entre un nombre primer i un nombre compost?

Els nombres primers només tenen dos divisors: l'1 i ells mateixos. Els nombres compostos tenen més de dos divisors i són els més freqüents.