Conceptes Fonamentals de Funcions Matemàtiques: Guia Completa

Què és una Funció? Definició i Conceptes Bàsics

Una funció és una relació entre dues magnituds o variables numèriques, x i y, de manera que a cada valor de x li correspon un únic valor de y. La variable x la denominem variable independent, i la variable y, variable dependent.

Una magnitud és qualsevol característica que es pot mesurar i se'n pot expressar el valor per mitjà d'un nombre.

Funció Definida per una Gràfica

Els parells de valors relacionats d'una funció (x,y) determinen punts del pla en un sistema d'eixos cartesians. La representació de tots aquests punts forma una gràfica.

La variable independent, x, la representem a l'eix d'abscisses i la dependent, y, al d'ordenades.

Una gràfica és discontínua quan no es pot dibuixar d'un sol traç. Una funció és contínua si la seva gràfica es pot dibuixar d'un sol traç, és a dir, que no té punts de discontinuïtat.

Domini i Recorregut d'una Funció

El domini d'una funció f(x) és el conjunt de tots els valors que pren la variable independent. El representem amb Dom f.

Anomenem recorregut d'una funció f(x) el conjunt de tots els valors que pren la variable dependent. El representem amb Im f.

Domini d'una Funció Contínua

El domini d'una funció contínua és el conjunt de tots els nombres reals, i ho escrivim així: Dom f = R.

Punts de Tall amb els Eixos

Els punts de tall amb els eixos d'una funció són els punts d'intersecció de la gràfica amb tots dos eixos de coordenades:

• Els punts de tall amb l'eix X tenen la forma (a,0) i el valor de a el calculem resolent l'equació f(x)=0.
• El punt de tall amb l'eix Y té la forma (0,b) i el valor de b el calculem obtenint f(0).

Tipus de Funcions i Característiques Específiques

Funció Periòdica

Una funció és periòdica si la seva gràfica es repeteix cada cert interval anomenat període.

Funcions Simètriques

• Funció simètrica respecte de l'eix Y: Una funció és simètrica respecte de l'eix d'ordenades, o funció parell, quan f(x)=f(-x).
• Funció simètrica respecte a l'origen: Una funció és simètrica respecte de l'origen de coordenades, o funció imparell, quan -f(x)=f(-x).

Màxims i Mínims d'una Funció

Una funció té un màxim quan passa de ser creixent a decreixent en aquell punt.

Una funció té un mínim quan passa de ser decreixent a creixent en aquell punt.