Formulari de Matemàtiques: Àlgebra, Anàlisi i Estadística

Àlgebra Lineal i Geometria

Posició relativa de plans (Teorema de Rouché-Frobenius)

• 2 incògnites (rectes en el pla):
  • Si rang(A) = rang(A*) = 2: SCD. Les rectes es tallen en un punt.
  • Si rang(A) = rang(A*) = 1: SCI. Les rectes són coincidents.
  • Si rang(A) = 1 i rang(A*) = 2: SI. Les rectes són paral·leles.
• 3 incògnites (plans a l'espai):
  • Si rang(A) = rang(A*) = 3: SCD. Els plans es tallen en un punt.
  • Si rang(A) = rang(A*) = 2: SCI. Els plans es tallen en una recta.
  • Si rang(A) = rang(A*) = 1: SCI. Els plans són coincidents.
  • Si rang(A) = 2 i rang(A*) = 3: SI. No tenen res en comú (es tallen dos a dos).
  • Si rang(A) = 1 i rang(A*) = 2: SI. Els plans són paral·lels.

Anàlisi Matemàtica

Límits i Indeterminacions

• ∞ / ∞: Comparar graus de numerador i denominador.
• 0 / 0: Factoritzar i simplificar, o aplicar la regla de L'Hôpital.
• k / 0: Calcular límits laterals (resultat: +∞ o -∞).
• 0 · ∞: Transformar en 0/0 o ∞/∞.
• ∞ - ∞: Operar les fraccions o multiplicar i dividir pel conjugat (si hi ha arrels).
• 1^∞: Aplicar la fórmula del número e: e^{lim (g · (f-1))}.

Asímptotes

• Asímptota Vertical (AV): Valors de x que anul·len el denominador. El límit és ∞.
• Asímptota Horitzontal (AH): y = lim_x→∞ f(x). El resultat ha de ser un nombre finit.
• Asímptota Obliqua (AO): y = mx + n
  • m = lim_x→∞ [f(x)/x]
  • n = lim_x→∞ [f(x) - mx]

Rectes tangent i normal

• Recta tangent: y = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀)
• Recta normal: y = f(x₀) - (1/f'(x₀)) · (x - x₀)

Regla de L'Hôpital

S'aplica en indeterminacions 0/0 i ∞/∞: lim (f(x)/g(x)) = lim (f'(x)/g'(x)).

Continuïtat i Derivabilitat

• Continuïtat en x=a: Una funció f(x) és contínua si lim_x→a f(x) = f(a).
• Derivabilitat en x=a: Una funció f(x) és derivable si les derivades laterals existeixen i coincideixen.

Regles de Derivació

• Potencial-Exponencial: (f^g)' = g · f^g-1 · f' + f^g · ln(f) · g'
• Potencial: (f^a)' = a · f^a-1 · f'
• Arrel: (ⁿ√f)' = f' / (n · ⁿ√(f^n-1))
• Exponencial (base e): (e^f)' = e^f · f'
• Exponencial (base a): (a^f)' = a^f · ln(a) · f'
• Logaritme neperià: (ln f)' = f' / f
• Logaritme (base a): (logₐ f)' = f' / (f · ln a)
• Sinus: (sin f)' = cos(f) · f'
• Cosinus: (cos f)' = -sin(f) · f'
• Tangent: (tan f)' = f' / cos²(f)
• Cotangent: (cot f)' = -f' / sin²(f)
• Arcsinus: (arcsin f)' = f' / √(1 - f²)
• Arccosinus: (arccos f)' = -f' / √(1 - f²)
• Arctangent: (arctan f)' = f' / (1 + f²)

Estudi d'una funció

1. Domini:
   • Arrels d'índex parell: L'argument ha de ser ≥ 0.
   • Logaritmes: L'argument ha de ser > 0.
   • Exponencials (e^f(x)): El domini és el domini de f(x).
2. Punts de tall amb els eixos i estudi del signe de la funció.
3. Asímptotes.
4. Monotonia i extrems relatius: Estudi del signe de la primera derivada (f').
5. Curvatura i punts d'inflexió: Estudi del signe de la segona derivada (f'').

Probabilitat

Teoria de Conjunts i Propietats

• Idempotència: A ∪ A = A; A ∩ A = A
• Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• Absorció: A ∩ (B ∪ A) = A
• Suma de probabilitats:
  • Successos incompatibles: p(A ∪ B) = p(A) + p(B)
  • Successos compatibles: p(A ∪ B) = p(A) + p(B) - p(A ∩ B)
• Lleis de Morgan:
  • (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c
  • (A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c
• Altres propietats:
  • p(A^c) = 1 - p(A)
  • p(A ∩ B^c) = p(A) - p(A ∩ B)

Dependència i Independència

• Successos independents: p(A ∩ B) = p(A) · p(B). També, p(B|A) = p(B).
• Successos dependents: p(A ∩ B) ≠ p(A) · p(B). També, p(B|A) ≠ p(B).
• Successos incompatibles: p(A ∩ B) = 0.
• Successos compatibles: p(A ∩ B) ≠ 0.

Probabilitat Condicionada i Total

• Definició: p(A|B) = p(A ∩ B) / p(B)
• Regla del producte (Diagrama d'arbre): p(A ∩ B) = p(A) · p(B|A)
• Regla de la cadena: p(A ∩ B ∩ C) = p(A) · p(B|A) · p(C|A ∩ B)

Estadística Inferencial

Distribucions Mostrals

• Tipificació: Z = (x - µ) / σ
• Distribució mostral de mitjanes: N(µ, σ/√n)
• Distribució mostral de proporcions: N(p, √(p·q/n)), on q = 1-p.
• Distribució mostral de diferència de mitjanes: N(µ₁ - µ₂, √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂))

Intervals de Confiança (IC)

• Fórmula general: (estimador ± error màxim)
• IC per a la mitjana: (x̄ - Z_α/2 · σ/√n , x̄ + Z_α/2 · σ/√n)
• Error màxim admissible (E): E = Z_α/2 · σ/√n
• Càlcul de la mida de la mostra (n):
  • Per a mitjanes: n = (Z_α/2 · σ / E)²
  • Per a proporcions: n = (Z_α/2)² · p · q / E²
• Càlcul de Z_α/2: P(Z < Z_α/2) = (1 + N_c) / 2, on N_c és el nivell de confiança.

Contrast d'Hipòtesis

• Contrast bilateral: H₀: µ = k vs H₁: µ ≠ k. Regions de rebuig: (-∞, -Z_α/2) U (Z_α/2, +∞).
• Contrast unilateral dret: H₀: µ ≤ k vs H₁: µ > k. Regió de rebuig: (Z_α, +∞).
• Contrast unilateral esquerre: H₀: µ ≥ k vs H₁: µ < k. Regió de rebuig: (-∞, -Z_α).