Problemes Resolts d'Electrostàtica: Camps i Potencial

Problema 10: Càlcul de Camps, Treball i Potencial Elèctric

a) Càlcul dels camps elèctrics E₁ i E₂

E₁ = k · (|q₁| / r₁²) = 10&sup6; N/C; E₁ = -10&sup6; j N/C
E₂ = k · (|q₂| / r₂²) = 10&sup5; N/C; E₂ = -10&sup5; i N/C
E = E₁ + E₂ → Eₓ = -10&sup6; N/C; Eᵧ = -10&sup5; N/C

b) Càlcul del treball W

W = q₁ · (k · (q₂ / r₁₂))
r₁₂ = √(3² + 3³) = 4,24 m
W = -212 J

c) Càlcul del treball W en un punt (0,-3)

W = Q · V(0,-3) = Q · (k · (q₁ / r₁q) + k · (q₂ / r₂q))
W = 10−&sup4; · 9 · 10&sup9; · ((10−³ / 6) + (-10−&sup4; / 4,24)) = 129 J
Treball realitzat en contra de les forces del camp.

Problema 11: Càrrega Elèctrica i Forces

a) Determinació del signe de la càrrega

La càrrega q és negativa perquè F_e = q · E. Donat que E = -10³ i N/C i la càrrega es desvia cap a la dreta, la força elèctrica F_e ha de ser en sentit contrari a E, indicant una càrrega negativa.

b) Càlcul de la tensió T

Fᵧ = T cos 37º - p = 0
T = (m · g) / cos 37º = (0,250 · 9,8) / cos 37º = 3,07 N

c) Càlcul de la càrrega q

Fₓ = -T sin 37º + F_e = 0
-T sin 37º + q · E = 0
q = (T sin 37º) / E = (3,07 · sin 37º) / (-10−³) = -1,85 · 10−³ C

Problema 12: Camp i Potencial Elèctric de Dues Càrregues

a) Determinació de la posició d'equilibri del camp elèctric

E = k · (|q| / r²)
E₁ = 9 · 10&sup9; · (2 · 10−&sup6; / x²)
E₂ = 9 · 10&sup9; · (20 · 10−&sup6; / (2-x)²)

Si E₁ = E₂ → 2 / x² = 20 / (2-x)²
Això condueix a l'equació: 9x² + 4x - 4 = 0
Solucions: x₁ = 0,48 m, x₂ = -0,93 m (no té sentit físic en aquest cas)

b) Càlcul del potencial elèctric total V

V = k · (q / r)
V₁ = 9 · 10&sup9; · (2 · 10−&sup6; / 0,20) = 9 · 10&sup4; V
V₂ = 9 · 10&sup9; · (20 · 10−&sup6; / 1,80) = 1 · 10&sup5; V
V = V₁ + V₂ = 1,9 · 10&sup5; V

c) Càlcul de l'energia potencial elèctrica Ep

Eₚ = k · (Q₁ · Q₂ / d) = 9 · 10&sup9; · (2 · 10−&sup6; · 20 · 10−&sup6;) / 2 = 0,18 J

Problema 13: Camp, Potencial i Treball en un Sistema de Càrregues

a) Càlcul del camp elèctric resultant E

r₁ = √(3² + 4²) = 5 m
r₂ = √(4² + 5²) = 6,4 m

E₁ = k · (|q₁| / r₁²) = 1080 N/C
E₂ = k · (|q₂| / r₂²) = 1537 N/C

E = E₁ + E₂
Eₓ = E₁ₓ + E₂ₓ = E₁ · cos α₁ - E₂ · cos α₂ = 1080 · (4/5) - 1537 · (4/6,4) = -97 N/C
Eᵧ = E₁ᵧ + E₂ᵧ = -E₁ sin α₁ - E₂ sin α₂ = 1080 · (3/5) - 1537 · (5/6,4) = -1849 N/C

b) Càlcul de la diferència de potencial V₀ - Vₚ

V = k · (q / r)
V₀ = 9 · 10&sup9; · ((3 · 10−&sup6;) / 3) + 9 · 10&sup9; · ((-7 · 10−&sup6;) / 5) = -3600 V
Vₚ = 9 · 10&sup9; · ((3 · 10−&sup6;) / 5) + 9 · 10&sup9; · ((-7 · 10−&sup6;) / 6,4) = -4444 V
V₀ - Vₚ = 844 V

c) Càlcul del treball W

W = -q ΔV = -q (Vₚ - V₀)
W = q (V₀ - Vₚ) = -5 · 10−&sup6; · (-844) = 4,22 · 10−³ J
Treball realitzat per les forces del camp.

Problema 14: Forces, Potencial i Camp en un Pèndol Elèctric

a) Càlcul de la tensió T

T sin α - F_e = 0
sin α = (20/2) / 50 = 0,2
T = (k · q² / d²) / sin α = -1,62 · 10−&sup4; N

b) Càlcul del potencial elèctric V

V = k · (q / (d/2)) + k · (q / (d/2)) = 2160 V

c) Càlcul del camp elèctric E

E = 2k · (q / l²) · cos α = 2 · 9 · 10&sup9; · ((1,2 · 10−&sup8;) / (0,5)²) · cos 11,54º = 846 N/C
Direcció vertical i sentit cap amunt.

Problema 15: Relació de Conceptes Elèctrics

1-c) i 2-a).

Problema 16: Força, Potencial i Energia Potencial en un Sistema de Càrregues

a) Càlcul de la força resultant F

F = k · |q₁| · { (|q₂| / r₁₂²) · (1,0) + (|q₃| / r₁₃³) · (0,-1) }
F = 9 · 10&sup9; · 1 · 10−&sup6; · { (3 · 10−&sup6; / 10²) · (1,0) + (2 · 10−&sup6; / 10²) · (0,-1) }
F = 9 · 10−&sup5; (3,-2) N

b) Càlcul del potencial V₄

V₄ = 9 · 10&sup9; · { ((-1 · 10−&sup6;) / 5) + ((3 · 10−&sup6;) / √(5² + 10²)) + ((2 · 10−&sup6;) / 5) } = -3 · 10³ V

c) Càlcul del canvi d'energia potencial ΔU

V₅ = 9 · 10&sup9; · { ((-1 · 10−&sup6;) / 15) + ((3 · 10−&sup6;) / √(15² + 10²)) + ((-2 · 10−&sup6;) / 5) } = -2,7 · 10³ V
ΔU = q (V₅ - V₄) → ΔU = -4,8 · 10−¹&sup7; J

Problema 17: Relació de Conceptes Elèctrics II

1=c) i 2=b).

Problema 18: Potencial, Energia i Forces en un Camp Elèctric

a) Càlcul del potencial V i l'energia potencial U

V = 9 · 10&sup9; · ((10 · 10−&sup6;) / √(3² + 4²)) + (10 · 10−&sup6; / 4) = -4,5 · 10³ V
U = q · V = -4,5 · 10−³ J

b) Càlcul de la força resultant F

F₁ = 9 · 10&sup9; · ((10 · 10−&sup6; · 10−&sup6;) / (3² + 4²)) · (3 / √(3² + 4²), 4 / √(3² + 4²))
F₂ = 9 · 10&sup9; · ((10 · 10−&sup6; · 10−&sup6;) / 4²) · (0,1)
F = F₁ + F₂ = (2,16, -2,74) · 10−³ N

c) Efecte d'un canvi en la distància

Els dos resultats anteriors quedarien dividits per 81.