Conceptes Clau de Funcions Matemàtiques
Definició de Funció
Definim funció com la relació que s'estableix entre un conjunt inicial i un conjunt final, de manera que a cada element del conjunt inicial (la variable independent) li fa correspondre un únic element del conjunt final (la variable dependent).
Domini d'una Funció
El domini de la funció és el conjunt possible de valors que pot prendre la variable independent (per exemple, monedes en una màquina expenedora).
Recorregut d'una Funció
El recorregut de la funció és el conjunt possible de valors que pot representar la variable dependent (per exemple, begudes que dispensa la màquina).
Representació de Funcions
Una funció es pot representar mitjançant:
- Taules de valors
- Gràfics en un pla cartesià
- Fórmules algebraiques
Tipus de Funcions Segons el seu Comportament
Funció Creixent
Una funció és creixent en un interval si, per a qualsevol parell de valors d'aquest interval (a i b) on a < b, la taxa de variació és positiva.
Funció Decreixent
Una funció és decreixent en un interval si, per a qualsevol parell de valors d'aquest interval (a i b) on a < b, la taxa de variació és negativa.
Extrems d'una Funció
Màxim Relatiu d'una Funció
Una funció f té un màxim relatiu en x = a si hi ha un entorn del punt a en el qual els valors que pren la funció són més petits o iguals que f(a).
Mínim Relatiu d'una Funció
Una funció f té un mínim relatiu en x = a si hi ha un entorn del punt a en el qual els valors que pren la funció són més grans o iguals que f(a).
Màxim Absolut d'una Funció
Una funció f té un màxim absolut en x = a si f(a) és més gran o igual que el valor de f(x) en qualsevol altre punt del domini de la funció.
Mínim Absolut d'una Funció
Una funció f té un mínim absolut en x = a si f(a) és més petit o igual que el valor de f(x) en qualsevol altre punt del domini de la funció.
Altres Propietats de les Funcions
Funció Periòdica
Una funció és periòdica si existeix un valor constant T pertanyent als nombres reals (T ∈ ℝ), tal que es compleix f(x + T) = f(x) per a tot valor x del domini.
Funció Fitada Inferiorment
Una funció és fitada inferiorment si hi ha un nombre real k tal que, per a tot x, es compleixi f(x) > k. El nombre k s'anomena fita inferior.
Funció Fitada Superiorment
Una funció f és fitada superiorment si hi ha un nombre real k' tal que, per a tot x, es compleix f(x) < k'. El nombre k' s'anomena fita superior.
Simetries de les Funcions
Simetria Respecte a l'Eix d'Ordenades (Funcions Parelles)
Una funció f és simètrica respecte a l'eix d'ordenades quan, per a tot x del domini, es verifica que f(-x) = f(x). Aquestes funcions també s'anomenen funcions parelles.
Simetria Respecte a l'Origen (Funcions Senars o Imparelles)
Una funció f és simètrica respecte a l'origen quan, per a tot x del domini, es verifica que f(-x) = -f(x). Aquestes funcions també s'anomenen funcions senars o funcions imparelles.