Apunts, resums, treballs, exàmens i exercicis de Matemàtiques de Universitat

Modelització de Sistemes Dinàmics

La modelització de sistemes consisteix en crear un model matemàtic d’un sistema dinàmic. Aquest model és un conjunt d’equacions que representen la dinàmica del sistema. Cal tenir en compte que, per a un sistema donat, no existeix un model matemàtic únic i no sempre és possible trobar un model adequat. És important buscar models senzills, tenint en compte que la majoria de models són vàlids per a determinats marges de treball.

Avantatges de la Modelització

• Facilita el disseny de controladors.
• Permet fer simulacions sense utilitzar el procés real.

La representació més típica és la funció de transferència, obtinguda mitjançant la transformada de Laplace. La variable complexa ‘s’ té un...

Processos de Vendes i Direcció Comercial

Procés de vendes: Venedor de manera personal o impersonal comprueba, activa i satisfà les necessitats del comprador per a un mutu i continu benefici de ambós.
Funció de vendes: Vendes com a pilar fonamental de l'empresa. Permanent contacte amb el client. Màrqueting -> consumidor, Vendes -> clients.
Direcció de vendes: Procés d'establiment d'estratègia, fixació d'objectius, execució, control del pla de vendes per a logar els objectius comercials, que d'acord amb el pla de màrqueting, proporciona una posició en el mercat que implica una gestió òptima del seu principal recurs: clients.

Funcions Clau

• Dirigir persones
• Ser referent
• Concretar estratègies
• Planificar i programar l'activitat comercial,

Norma 9: Valoració Posterior de Prestacions i Partides

La valoració posterior de les prestacions i partides a cobrar es valorarà pel seu cost amortitzat, utilitzant el mètode de tipus d'interès efectiu. L'assentament es fa en la venda de l'immobilitzat i la baixa pel valor comptable, posant el valor de la venda repetida en la comptabilitat i ajornant la diferència que va al compte de Pèrdues i Guanys (PIG).

Norma 3: Elements de l'Immobilitzat Material

Criteris específics per a diferents tipus d'actius:

• Solars sense edificar: s'hi inclouen, després d'acondicionament, enderrocs, inspecció, estimació inicial del valor de les obligacions dels costos de rehabilitació.
• Construccions: pel preu d'adquisició, format per les instal·lacions amb

Funció Gamma i Funció Beta

La funció gamma es defineix com Γ(p) = ∫₀^∞ e^-x x^p-1 dx = 2∫₀^∞ e^-y² y^2p-1 dy, amb p > 0.

Propietats de la funció gamma

• Γ(p) = (p-1)Γ(p-1)
• Γ(1) = 1
• Γ(n) = (n-1)! per a n enter positiu
• Si 0 < p < 1: Γ(p)Γ(1-p) = π / sen(p·π)
• Γ(1/2) = √π

Funció beta

Beta: B(p,q) = ∫₀¹ x^p-1(1-x)^q-1 dx = 2∫₀^π/2 sen^2p-1(x) cos^2q-1(x) dx = ∫₀^∞ t^p-1/(1+t)^p+q dt

• B(p,q) = B(q,p)
• B(1,1) = 1
• B(1/2,1/2) = π
• B(p,q) = Γ(p)Γ(q) / Γ(p+q)

Superfícies Quàdriques

Superfícies amb equacions canòniques

• Elipsoide: x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
• Esfera: x² + y² + z² = r²
• Paraboloide de revolució: z = x² + y²
• Con de revolució: z² = x² + y²
• Pla: ax + by + cz + d = 0
• Hiperboloide d'una fulla: x²/a² + y²/b² - z²/

circular: x2+y2=R2. (xp-xo)2+(yp-yo)2=R2. Desarrollo: D=2pi R alfa/400. Calculo elem curba circular: alfa= v-200.  tangente (te-v, v-ts)= Rtan (alfa/2). Semicuerda (te-m): (Rsen (alfa/2). Cuerda (te-ts): 2 semi, 2Rsen(alfa/2). Centro curva a cendtro cuerda: Rcos (alfa/2). Flecha (medio cuerda asta medio arco): R - Rcos (alfa/2). Centro cuerva a v(vertice final): R/ cos (alfa/2). Medio arco a v: R/ cos(alfa/2) -R. Radio de una curva que pasa por tres puntós: debemos conocer angulo B y lados triangulo a aprtir cordenadas tres puntós. Circuncentro, triangulo oac(triangulo de mas a la izquiera (a abajo): AC= 2R sen(2B/2) (2b angulo que esta en el centro). Radio de una curva tangente a tres rectas: 1er metodo (bisectrices): necesitamos conocer...

Planimetria per intersecció: Bessel: (directa + inversa +/- 200) / 2, resta de Bessel d'angles interiors. C angular = 200 - (a + b + c). T = 2c√n (triangle de 3). La tolerància més gran o igual que c (tancament). Per compensar, ex: +c/3. Per calcular coordenades, ex: xa = xb + dist(ba) · sin acim(ba), i y amb cos. Calcular angles interiors amb lectures acimutals: (400 - 1a fila) + 2a fila. Triangulació: e_v max = D (mitjana de distàncies que van al punt) · ec / (√2 · sen(c/2)). Trilateració: e_max D = 2,58 (3 mm + 2 · ((suma de dues distàncies que van al punt) / 2) / 1.000.000). e_v max = e_d / (√2 · sen(β agut) · (200 - àngle) / 2). Errors transversals: amb triangulació: E_ta = 0,8c (rad) · Dist AP. E_tb = 0,8c (rad)...

Lema de bombeig per a llenguatges regulars

Llenguatge Multi-full: L = {(a³b²)ᵏ | k > 0}

• 1. Assumim que és regular.
• 2. p serà la longitud de bombeig // S = (a³b²)ᵖ.
• 3. S té almenys una longitud p.
• 4. Partim s de la següent manera: x = ε, y = (a³b²), z = ε.

Condicions:

• Condició 1: Per a cada i ≥ 0, xyⁱz ∈ A (D'acord).
• Condició 2: |y| > 0 (D'acord).
• Condició 3: |xy| ≤ p (D'acord).

Tancament de la classe de llenguatges regulars

Demostreu que la classe dels llenguatges regulars és tancada sota l'operació de concatenació:

Fem dos NFA, un per a A₁ i un per a A₂, i els combinem en un nou NFA N. L'inici de N serà l'inici de N₁. Si N₁ es troba en un estat d'acceptació, significa que ha trobat una peça inicial de l'entrada...

Variables didàctiques de les situacions additives concretes

• Significat dels nombres: cardinal, ordinal o mesura.
• Grandària dels termes i del resultat de l'operació: de 0 a 10, de 10 a 20, de 20 a 50, de 50 a 100, de 100.000 a 1.000.000 i d'1.000.000 endavant.
• Estructura lògica de la situació:
  • Combinar (part/tot).
  • Canvi (inicial / canvi / final).
  • Comparar (referència / comparada / diferència).
  • Igualar (referència / comparada / diferència).
• Posició de la incògnita: inicial, mitjana o final.
• Sentit del terme mitjà: creixent o decreixent (no existeix en els problemes de combinació).
• Possibilitat de recompte dels termes: amb possibilitat de recompte dels dos termes o només d'un.
• Grau de contextualització:
  • Situació referent a materials o objectes

1. La multiplicació de nombres enters a Primària: l'exemple (+1) · (-2)

Per explicar la multiplicació amb nombres enters a l’aula de Primària, cal utilitzar una situació problemàtica per tal de contextualitzar el concepte matemàtic. Un exemple útil és el de l’ascensor, on els alumnes poden obtenir el resultat empíricament:

«Un ascensor es troba a la planta baixa (0). Si puja 1 pis per minut (+1), en quin pis es trobava fa 2 minuts (–2)?»

Ens situem al 0, que seria la posició actual de l’ascensor, i multipliquem els pisos per minut pel nombre de minuts. En aquest cas, els minuts s’han d’escriure amb signe negatiu (–2) per a indicar que ens referim a un temps anterior al moment present.

L’operació serà: (+1) · (–2)

Les lleis del New Deal: AAA (Acta d'ajut a l'agricultura)

• Subvencionar els grangers que reduïen la producció
• Augmentar els preus agrícoles
• Diversificació de conreus

WPA (Administració per al progrés de les obres públiques)

• Treball en diferents obres públiques

CCC (Cossos de conservació civil)

• Neteja de boscos i tasques de reforestació

TVA (Autoritat de la vall de Tennessee)

• Construcció d'embassaments per a la producció elèctrica

NPA (Administració de recuperació nacional)

Oposició al New Deal

• Rics: Consideraven Roosevelt un traïdor a la seva classe per l'augment d'impostos.
• Republicans: Crítics amb les grans despeses i l'extravagància.
• Tribunal Suprem: Va declarar algunes lleis del New Deal anticonstitucionals.
• Industrials: Negaven el reconeixement