Fórmules i Teoremes Clau de Càlcul Integral i Vectorial: Guia Completa
Funció Gamma i Funció Beta
La funció gamma es defineix com Γ(p) = ∫0∞ e-x xp-1 dx = 2∫0∞ e-y² y2p-1 dy, amb p > 0.
Propietats de la funció gamma
- Γ(p) = (p-1)Γ(p-1)
- Γ(1) = 1
- Γ(n) = (n-1)! per a n enter positiu
- Si 0 < p < 1: Γ(p)Γ(1-p) = π / sen(p·π)
- Γ(1/2) = √π
Funció beta
Beta: B(p,q) = ∫01 xp-1(1-x)q-1 dx = 2∫0π/2 sen2p-1(x) cos2q-1(x) dx = ∫0∞ tp-1/(1+t)p+q dt
- B(p,q) = B(q,p)
- B(1,1) = 1
- B(1/2,1/2) = π
- B(p,q) = Γ(p)Γ(q) / Γ(p+q)
Superfícies Quàdriques
Superfícies amb equacions canòniques
- Elipsoide: x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1
- Esfera: x² + y² + z² = r²
- Paraboloide de revolució: z = x² + y²
- Con de revolució: z² = x² + y²
- Pla: ax + by + cz + d = 0
- Hiperboloide d'una fulla: x²/a² + y²/b² - z²/c² = 1
- Hiperboloide de dues fulles: x²/a² + y²/b² - z²/c² = -1
- Cilindre: x² + y² = 1, z = y²
Aplicacions Físiques de les Integrals Triples
Per a un cos D amb densitat f(x,y,z), la integral triple és ∫∫∫D f(x,y,z) dx dy dz.
- Volum: si f = 1, vol(D) = ∫∫∫D 1 dx dy dz
- Massa: si f = ρ, m(D) = ∫∫∫D ρ dx dy dz
- Moment d'inèrcia: si f = d²ρ, on d és la distància a l'eix
- Valor mitjà de f sobre D: ⟨f⟩ = ∫∫∫D f dx dy dz / ∫∫∫D 1 dx dy dz
- Centre de gravetat: rG = ∫∫∫D r ρ dV / ∫∫∫D ρ dV, és a dir, xG = ∫∫∫D x ρ dx dy dz / Massa(D)
- Centroide: quan ρ = constant
Canvis de Variable
- Polars: x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, J = ρ
- El·líptiques: x = aρ cos θ, y = bρ sen θ, J = abρ
- Cilíndriques: x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, z = z, J = ρ
- Esfèriques: x = ρ sen θ cos φ, y = ρ sen θ sen φ, z = ρ cos θ, J = ρ² sen θ
- Esfèriques el·lipsoidals: x = aρ sen θ cos φ, y = bρ sen θ sen φ, z = cρ cos θ, J = abcρ² sen θ
Teoremes de Guldin
- Primer teorema: Vol = Àrea · 2πd
- Segon teorema: Àrea = Longitud · 2πd
Volum de revolució
Volum de revolució: V = π∫ab y²(x) dx
Teorema de Steiner
Steiner: Ir = Is + a²M(D)
Relacions Trigonomètriques
- sen²x = (1 - cos 2x) / 2
- cos²x = (1 + cos 2x) / 2
- cos³x = (3 cos x + cos 3x) / 4
- sen³x = (3 sen x - sen 3x) / 4
- cos x cos y = [cos(x+y) + cos(x-y)] / 2
- sen x sen y = [cos(x-y) - cos(x+y)] / 2
- sen x cos y = [sen(x+y) + sen(x-y)] / 2
- cos x sen y = [sen(x+y) - sen(x-y)] / 2
Integrals de Línia
Integral de línia de camp escalar: ∫ab f(x₁(t),...,xₙ(t)) · √(x₁'²(t) + ... + xₙ'²(t)) dt
Integral de línia de camp vectorial: ∫t₀t₁ F(r(t)) · r'(t) dt
Identitats vectorials
- rot(fW) = (grad f) × W + f rot W
- div(fW) = f div W + (grad f) · W
- grad(fg) = f grad g + g grad f
- div(V × W) = (rot V) · W - V · (rot W)
Integrals de Flux
Flux d'un camp a través d'una superfície: ∬σ(xy) (P cos α + Q cos β + R cos γ) dx dy / |cos γ|
Teorema de la Divergència (Gauss)
Teorema de Gauss: Sigui D un compacte de R³ que pot dividir-se mitjançant superfícies contínues de classe C¹ a trossos en un nombre finit de compactes simples. Sigui F un camp vectorial de classe C¹ definit en D. Si σ⁺ representa la superfície frontera de D orientada amb el vector normal exterior, es verifica:
∭D div F dV = ∬σ⁺ F · dσ
Teorema de Stokes
Teorema de Stokes: Sigui (A, σ) una porció elemental de superfície parametritzada de classe C² amb frontera orientada ∂A⁺. Sigui F un camp vectorial de classe C¹ definit en un obert que contingui σ(A). Llavors, si σ⁺ denota la superfície σ orientada amb el vector n = σu × σv, es verifica:
∮∂A⁺ F · dr = ∬σ⁺ (rot F) · dσ
Teorema de Green
Teorema de Green: Sigui D un compacte simple amb frontera ∂D formada per corbes contínues de classe C¹ a trossos. Siguin L(x,y) i M(x,y) funcions de classe C¹ en D. Llavors:
∬D (∂M/∂x - ∂L/∂y) dx dy = ∮∂D L dx + M dy
Sigui D un domini compacte la frontera del qual consta d'un nombre finit d'arcs contínues de classe C¹ a trossos i tancades i simples. Si L, M ∈ C¹(D):
∮∂D L dx + M dy = ∬D (∂M/∂x - ∂L/∂y) dx dy
Àrea mitjançant integral de línia
A = ½ ∮∂D x dy - y dx
Àrea i longitud en coordenades polars i cartesianes
- Àrea en polars: A = ½ ∫θ₁θ₂ ρ²(θ) dθ
- Longitud d'arc: L[a,b] = ∫ab |r'(t)| dt = ∫ab √(1 + f'(x)²) dx = ∫θ₁θ₂ √(ρ²(θ) + ρ'(θ)²) dθ
Camps Conservatius
Sigui F: A ⊂ Rn → Rn un camp vectorial contínu, on A és un conjunt obert i connex. Són equivalents:
- F és conservatiu.
- La circulació de F entre dos punts de A és independent de la corba regular a trossos que els uneix.
- La circulació de F al llarg de qualsevol corba tancada regular a trossos continguda en A és igual a 0.
Si F és conservatiu, es compleixen les condicions de derivades creuades (condició necessària, i suficient si A és estrellat). F és conservatiu si existeix un potencial escalar U(x,y) tal que F(x,y) = ∇U(x,y) per a tot (x,y) ∈ D.