Conceptes Clau de Cinemàtica: Moviment Relatiu, Parabòlic i Circular

Relativitat del Moviment en Cinemàtica

Els conceptes de repòs i moviment, i en conseqüència, els conceptes d’espai recorregut, velocitat i acceleració, no són conceptes absoluts, sinó relatius, ja que depenen del sistema de referència triat per descriure el moviment.

Moviment Parabòlic

S’anomena moviment parabòlic el moviment d’una partícula amb acceleració constant, de manera que la direcció d’aquesta no coincideix amb la direcció de la velocitat. Si aquesta acceleració és l’acceleració de la gravetat, g, i el moviment té lloc a prop de la superfície terrestre, parlarem de llançament parabòlic.

Moviment Circular

El moviment circular és el moviment que té com a trajectòria una circumferència. És un moviment en el pla, és a dir, en dues dimensions.

El Radiant i les Magnituds Angulars

Un radiant és l’angle que comprèn un arc de circumferència de longitud igual al radi.

• Arc recorregut: $s = \phi \text{ (radiants)} \cdot r$
• Velocitat angular mitjana: $W_m = \Delta \phi / \Delta t$
• Velocitat lineal mitjana: $V_m = \Delta s / \Delta t$

Acceleracions en el Moviment Circular

L’acceleració tangencial és conseqüència d’una modificació de la celeritat (mòdul de la velocitat) i té la mateixa direcció que la velocitat. L’acceleració normal és conseqüència de la variació de la direcció de la velocitat i és perpendicular a aquesta velocitat.

Fórmules d'Acceleració

• Acceleració normal: $a_n = v^2 / R$
• Acceleració tangencial: $a_t \text{ (m/s}^2\text{)} = \alpha \text{ (rad/s}^2\text{)} \cdot r \text{ (m)}$

L'acceleració total és la suma vectorial de les components normal i tangencial:

$A_{\text{total}} = $

Acceleració Angular Instantània ($\alpha$)

Definim acceleració angular instantània $\alpha$ com el límit de l’acceleració angular mitjana quan l’interval de temps tendeix a zero:

$\alpha \text{ (rad/s}^2\text{)} = \Delta w \text{ (rad/s)} / \Delta t \text{ (s)}$

Moviment Circular Uniforme (MCU)

El moviment circular uniforme és el moviment en què la partícula descriu arcs i angles iguals en intervals de temps iguals. En aquest moviment, la velocitat angular ($w$) és constant i la velocitat lineal varia de direcció, però el seu mòdul es manté constant.

Equacions del MCU

• Angle girat en funció del temps: $\phi \text{ (radiants)} = \phi_0 + w \cdot \Delta t$
• Arc recorregut en funció del temps: $s = s_0 + v \cdot \Delta t$
• Relació entre velocitats: $V = w \cdot r$

Període, Freqüència i Acceleració Normal

• Freqüència: $f = 1/T$
• Acceleració normal: $a_n = v^2 / R = w^2 \cdot R$
• Velocitat angular: $W = 2 / T = 2 f$

Moviment Circular Uniformement Variat (MCUV)

El moviment circular uniformement variat és aquell moviment en què la partícula descriu una trajectòria circular amb acceleració angular constant. En aquest moviment, l’acceleració angular mitjana i l’acceleració angular instantània coincideixen, i l’acceleració tangencial és constant.

Equacions del MCUV

• Velocitat angular: $w = w_0 + \alpha \cdot \Delta t$
• Velocitat lineal: $v = v_0 + a_t \cdot \Delta t$
• Equació del moviment en funció de l’angle descrit: $\phi = \phi_0 + w_0 \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \cdot \cdot (\Delta t)^2$
• Longitud d’arc recorregut: $S = s_0 + v_0 \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \cdot a_t \cdot (\Delta t)^2$

L'acceleració normal en MCUV:

$a_n = v^2 / R = w^2 \cdot R$

Apèndix: Resum de Fórmules del Moviment Circular

A continuació es repeteixen algunes de les fórmules clau per a la consulta ràpida:

Moviment Circular General

• Arc recorregut: $s = \phi \text{ (radiants)} \cdot r$
• Velocitat angular mitjana: $W_m = \Delta \phi / \Delta t$
• Velocitat lineal mitjana: $V_m = \Delta s / \Delta t$
• Acceleració normal: $a_n = v^2 / R$
• Acceleració total: $A_{\text{total}} = $
• Acceleració tangencial: $a_t \text{ (m/s}^2\text{)} = \alpha \text{ (rad/s}^2\text{)} \cdot r \text{ (m)}$
• Acceleració angular: $\alpha \text{ (rad/s}^2\text{)} = \Delta w \text{ (rad/s)} / \Delta t \text{ (s)}$

Moviment Circular Uniforme (MCU)

• Angle girat: $\phi \text{ (radiants)} = \phi_0 + w \cdot \Delta t$
• Arc recorregut: $s = s_0 + v \cdot \Delta t$
• Relació de velocitats: $V = w \cdot r$
• Freqüència: $f = 1/T$
• Acceleració normal: $a_n = v^2 / R = w^2 \cdot R$
• Velocitat angular: $W = 2 / T = 2 f$

Moviment Circular Uniformement Variat (MCUV)

• Velocitat angular: $w = w_0 + \alpha \cdot \Delta t$
• Velocitat lineal: $v = v_0 + a_t \cdot \Delta t$
• Equació del moviment en funció de l’angle descrit: $\phi = \phi_0 + w_0 \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \cdot \cdot (\Delta t)^2$
• Longitud d’arc recorregut: $S = s_0 + v_0 \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \cdot a_t \cdot (\Delta t)^2$
• Acceleració normal: $a_n = v^2 / R = w^2 \cdot R$