Introducció a la Probabilitat: Conceptes i Propietats
Conceptes fonamentals de la probabilitat
Objectius principals
- Reconèixer experiments aleatoris i calcular-ne l'espai mostral.
- Trobar la probabilitat d'un esdeveniment.
- Treballar amb probabilitats condicionades.
- Distingir entre esdeveniments dependents i independents.
Tipus d'experiments i espai mostral
- Experiment aleatori: És aquell sobre el qual no podem influir. Això implica que no podem predir o assegurar el resultat final, ja que depèn de la sort o de l'atzar.
- Experiment determinista: És aquell en el qual coneixem el resultat abans de dur-lo a terme.
- Espai mostral: És el conjunt de tots els esdeveniments possibles (totes les opcions i possibles resultats que podem obtenir).
- Diagrama d'arbre: Consisteix a indicar gràficament (com si fossin branques d'un arbre) totes les possibilitats que hi ha en realitzar un experiment. El nombre final de possibilitats s'obté comptant totes les branques finals.
Tipus d'esdeveniments
- Esdeveniment compost: És aquell que està format per dos o més esdeveniments elementals.
- Esdeveniments compatibles: Són aquells dos esdeveniments que poden produir-se a la vegada.
- Esdeveniments incompatibles: Són aquells dos esdeveniments que no poden produir-se alhora.
- Element no elemental: Casos particulars formats per agrupacions d'esdeveniments.
Operacions amb esdeveniments
Hi ha dues operacions principals amb esdeveniments:
- Unió de dos esdeveniments: Quan es produeix l'un o es produeix l'altre. S'expressa com a A ∪ B.
- Intersecció de dos esdeveniments: Quan es produeixen tots dos alhora. S'expressa com a A ∩ B.
- Esdeveniment contrari o complementari: En general direm que «l'esdeveniment contrari d'A està format per tots els esdeveniments de l'espai mostral que no estan en A». En destaquen 3 casos:
- El contrari de la unió és la intersecció dels contraris: (A ∪ B)' = A' ∩ B'.
- El contrari de la intersecció és la unió dels contraris: (A ∩ B)' = A' ∪ B'.
- El contrari del contrari coincideix amb el «punt de sortida» (l'esdeveniment original): (A')' = A.
Càlcul i propietats de la probabilitat
Definició de probabilitat
La probabilitat és una funció que a cada esdeveniment d'un experiment aleatori li associa un nombre comprès entre 0 i 1, i mesura la facilitat d'ocurrència de l'esdeveniment.
S'hi distingeixen 3 idees clau:
- És un nombre comprès entre 0 i 1.
- Mesura la facilitat d'ocurrència.
- S'aplica sobre experiments aleatoris.
Quan més proper a 0 és el valor, l'esdeveniment és menys probable; com més proper a 1, és més probable.
Experiment regular i Regla de Laplace
- Experiment regular: Tots els esdeveniments elementals tenen la mateixa probabilitat (com en el llançament de monedes, cartes, daus no trucats, etc.).
- Regla de Laplace: La probabilitat d'un esdeveniment A és igual al quocient entre el nombre de casos favorables d'A i el nombre de casos possibles:
P(A) = Casos favorables / Casos possibles.
Freqüència i probabilitat
Quan repetim un experiment un nombre elevat de vegades, el valor de la probabilitat es va apropant progressivament cap al valor de la freqüència relativa.
Propietats de la probabilitat
- Valors de la probabilitat: No pot ser inferior a 0 ni superior a 1: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Esdeveniment segur i esdeveniment impossible: La probabilitat de l'espai mostral complet és total: P(E) = 1.
- Esdeveniments incompatibles: La probabilitat de la unió és la suma de les probabilitats individuals: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
- Probabilitat de l'esdeveniment contrari: La probabilitat de qualsevol esdeveniment és igual a 1 menys la probabilitat del seu contrari: P(A) + P(Ā) = 1 ⇒ P(A) = 1 - P(Ā).
- Esdeveniments generals: Amb dos esdeveniments qualssevol, A i B, sempre es compleix que la unió és igual a la suma de les probabilitats menys la probabilitat de la intersecció: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
Probabilitat condicionada
La probabilitat condicionada és el càlcul de la probabilitat de B quan sabem prèviament que ha succeït A (o viceversa). Normalment es calcula a partir d'una taula de contingència o de doble entrada.
Dos aspectes fonamentals a tenir en compte:
- Quan s'ha de calcular la probabilitat d'una unió, s'aplica la fórmula general: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B).
- En la probabilitat condicionada expressada com a «quan passi B sabem que ha passat A», es calcula de la forma: P(A|B) = Casos favorables d'A i B / Casos favorables de B.