Preguntes de verdader o fals sobre àlgebra lineal: revisió i solucions

Preguntes de verdader o fals sobre àlgebra lineal

Y La preslikava TAU: R2 -> R2, que transforma el vector (x; y) en el vector (x+y; x-y), és lineal.

N La suma de la dimensió del nucli de la matriu A i de la dimensió de la imatge de la matriu A és igual al nombre de files de la matriu A.

N Un dels valors propis de la matriu (1, 2, 3; 0, 4, 5; 0, 0, 6) és igual a 2.

Y (1; 1) és un vector propi de la matriu (2, 1; 1, 2).

Y El vector 0 es troba a la imatge de qualsevol aplicació lineal.

N Si LAMBDA és un valor propi de l'aplicació TAU, aleshores l'aplicació TAU-LAMBDA*I és bijectiva.

Y Al nucli de l'aplicació lineal TAU: R4 -> R2(x) hi ha almenys un vector no nul.

Y Si 0 és un valor propi de la matriu n x n A, aleshores el rang de la matriu A és estrictament menor que n.

Y Si per a les aplicacions lineals i: U -> V i j: U -> W es compleix dim(ker i) <= dim(ker j), aleshores dim(im i) >= dim(im j).

Y Almenys un subespai propi de la matriu (3, 0, 0; 0, 3, 0; 0, 0, 5) té dimensió 2.

Y L'aplicació lineal que assigna a cada matriu n x n A la seva transposada At té 1 i -1 com a valors propis per a tot n >= 2.

Y Si LAMBDA != 0 és un valor propi de l'aplicació lineal i, aleshores dim(im i) >= 1.

Y Les matrius A=(1, 1; 1, 0) i B=(0, -1; 1, 1) són ortogonals respecte del producte escalar (A, B) = tr(AtB) a l'espai R2,2.

X El predicat (p, q) := 2p(-1)q(1) defineix un producte escalar a R3(x).

Y Si les matrius A i B es poden diagonalitzar en la mateixa base, aleshores es compleix AB = BA.

Y Qualsevol matriu 5x5 amb valors propis 1, 2, 3, 4, 5 es pot diagonalitzar.

X Si per als vectors u, v V es compleix (u, v)=0, aleshores u=0 o v=0.

Y Si (u1, u2, ... um) és una base ortonormal de l'espai V, aleshores per a qualsevol vector v V es compleix v=(v,u1)u1+(v,u2)u2+...

Y Si la distància entre els vectors u i v és igual a la distància entre els vectors u i -v, aleshores els vectors són perpendiculars.

Y Si (u, v, w) és una base del subespai U de R6 i el vector x R6 és perpendicular a cadascun de u, v i w, aleshores x és un element del subespai U_|_.

X Per a qualsevol alfa R i v V es compleix (alfa*v, alfa*v) = alfa * ||v||^2.

Y Una matriu és invertible si i només si 0 no és un dels seus valors propis.

Y Si A és una matriu n x m les columnes de la qual són ortogonals, aleshores n >= m.

X Si per als vectors u, v V es compleix ||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2, aleshores u i v són linealment dependents.

X Si (u1, u2, ... um) és un conjunt ortonormal a Rn, aleshores la matriu les columnes de la qual són u1, u2, ... um és invertible.

X Existeix una aplicació ortogonal que no és una isometria.

Y Existeix una aplicació afina que no és una isometria.

X Una aplicació afina conserva la distància entre punts.

Y Cada isometria lineal d'un espai vectorial bidimensional queda determinada de manera única per les imatges de dos vectors linealment independents.

X Al pla projectiu existeixen 2 punts que formen un marc projectiu del pla.

Y Una projectivitat del pla projectiu queda determinada de manera única per les imatges de 4 punts que formen un marc projectiu del pla.

X Si les columnes de la matriu A són ortogonals, aleshores la matriu A és ortogonal.

X Els valors propis de la reflexió respecte d'un pla a R3 són 1, -1, -1.

X La matriu que correspon a una projecció ortogonal és ortogonal.

X Els valors propis d'una matriu ortogonal són reals.

X El determinant d'una matriu ortogonal és igual a 1.

=>