Tangències i enllaços en geometria: traçats pas a pas

Resum

El document explica com traçar circumferències tangents a rectes i a altres circumferències, i com construir enllaços i ovals a partir dels seus eixos. Cada construcció es presenta com una seqüència de passos geomètrics. És una guia pràctica per dibuixar tangències amb regle i compàs.

Punts clau

Una circumferència tangent a dues rectes convergents té el seu centre a la intersecció de les bisectrius de l'angle i d'una recta paral·lela a una de les rectes, separada la mesura del radi.
Per a dues circumferències tangents interiors es troba el punt mitjà H de OO' i es tracen circumferències auxiliars de radi r + r' i de radi HO.
Per a dues circumferències tangents exteriors s'utilitza una circumferència auxiliar de radi r - r' amb centre O.
Per traçar una circumferència tangent de radi r exterior a una circumferència donada pel punt P, es sumen els radis a partir de P sobre la prolongació del radi que passa per P i es traça la circumferència amb centre O' i radi O'P.
L'oval es construeix a partir dels seus dos eixos, mitjançant arcs de centres N i N' i punts de tangència simètrics respecte dels eixos.

Posa't a prova

Tangències entre Rectes i Circumferències

Traçar una circumferència de radi conegut tangent a dues rectes r i s convergents:

Dibuixem les bisectrius de l'angle que determinen les rectes.
Tracem una recta t paral·lela a una de les rectes donades i separada d'aquesta la mesura del radi r conegut.
La intersecció de t amb la bisectriu és el centre de la circumferència que s'ha de traçar.

Traçat de dues rectes tangents i interiors a dues circumferències conegudes i de radi diferent:

Unim els punts O i O' i determinem el punt mitjà de OO', que és H.
Tracem una circumferència de radi igual a r + r' i amb centre en O.
Esbrinem una altra circumferència amb radi HO i centre en H, que tallarà l'anterior en els punts M i M'.
Unim M i M' amb O, amb la qual cosa s'obtenen els punts U i V en les circumferències.
Dibuixem per O' dos radis paral·lels a OV i OU, traçats en sentit contrari per obtenir els punts S i T.

Traçar dues rectes tangents i exteriors a les circumferències donades:

Unim els punts O i O' i esbrinem el punt mitjà de OO', el qual anomenem H.
Circumferència amb centre O de radi r - r'.
Amb centre en H i radi HO, tracem un arc fins que talli la circumferència auxiliar en M i M'.
Unim O amb M i M' i obtenim els punts U i V.
Dibuixem per O' dos radis per aconseguir S i T.
Unint V amb T i U amb S, tracem les rectes tangents r i l.

Tangències entre Circumferències

Traçar una circumferència tangent de radi r exterior a la circumferència donada pel punt P:

Prolonguem un radi de O que contingui el punt P.
Sumem el radi r a partir de P i obtenim O'.
Tracem la circumferència que es busca amb centre en O' i radi O'P.

Enllaços

Traçat d'un oval del qual coneixem els dos eixos:

Tracem un arc amb centre O i radi OA que talla la prolongació de CD en el punt P.
Unim A amb C.
Dibuixem un arc de radi CP amb centre en C fins que talli el segment AC a V.
Dibuixem la mediatriu d'AV, que talla la prolongació de OD en el punt M o dins del mateix segment, i el semieix major en el punt N.
Dibuixem els punts simètrics de M i N respecte dels eixos de l'oval, M' i N'.
Unim els punts M i M' amb N i N', respectivament, i tracem els arcs de centre M' i M amb radi M'D i MC, per obtenir els punts Q i Q' i P i P'.
Per acabar, dibuixem els arcs de centre N i N' amb radi NA i N'B fins als punts de tangència anteriors: Q i Q' i P i P'; d'aquesta manera s'aconsegueix l'oval.

Preguntes freqüents

Com es traça una circumferència tangent a dues rectes convergents?

Es dibuixen les bisectrius de l'angle que formen les rectes i una recta paral·lela a una d'elles separada la mesura del radi conegut. La intersecció d'aquesta paral·lela amb la bisectriu és el centre de la circumferència.

Com es construeix un oval conegut els seus dos eixos?

Es traça un arc amb centre O i radi OA, es dibuixa el segment AC i un arc de radi CP amb centre en C per obtenir V. La mediatriu d'AV determina els punts M i N, a partir dels quals es tracen els arcs que donen l'oval.