Indicatriz de Tissot: Deformaciones en Proyecciones Cartográficas y la UTM

Definición de la elipse de Tissot

Tissot: concepto matemático para medir e ilustrar las distorsiones de las proyecciones cartográficas. Los transformados del círculo infinitesimal de radio ds² = p²·dφ² + r²·dλ² centrado en un punto P sobre el elipsoide se transforman en una elipse centrada en el transformado del punto sobre el plano de proyección D = A·dx² + B·dy² − 2C·dx·dy. Cada punto P tiene 2 direcciones principales perpendiculares que aciertan el máximo y mínimo de la deformación lineal.

La deformación lineal en función de α:

k₁² = (E′/p²)·sen²α + (G′/r²)·cos²α + (F′/(p·r))·sen²α

A partir de esta se obtienen los 2 valores máximo y mínimo (α₁ y α₂) y se comprueba que las 2 direcciones son perpendiculares (tgα₁·tgα₂ = 1 → α₂ − α₁ = π/2). Sustituyendo α₁ y α₂ en la expresión tgα′ = [(G/p)·tgα + (G/r)] / [(F/p)·tgα + (F/r)] se obtiene la expresión de la máxima y mínima deformación lineal (α₁′; α₂′).

Cálculo de los semiejes de Tissot

(k_1p² + k_1m² = a² + b²)

(k_1m · k_1p · sen(π/2 + ε) = a · b) = (a · b · k²)

Con k_1m = √(E′/p) y k_1p = √(G′/r), donde E′ = f(φ)² + g_φ² y G′ = f_λ² + g_λ²:

k_1m = (f_φ² + g_φ²)^1/2 / p,   k_1p = (f_λ² + g_λ²)^1/2 / r

Sustituyendo en la expresión obtenida a partir del teorema de Apolonio:

(a + b)² = (g_φ/p + f_λ/r)² + (f_φ/p − g_λ/r)²

(a − b)² = (f_φ/p + g_λ/r)² + (g_φ/p − f_λ/r)²

Deformación a partir de los ejes de la elipse de Tissot

Deformación lineal: sea μ = ε, ds = radio = 1, k₁ = ε′/ε = a/1 → ε′ = a·ε; k₁ⁿ = η′/η = b/1 → η′ = b·η; cosu = ε, senu = η, ε′ = a·cosu, η′ = b·senu.

Determinación de la deformación lineal:

k₁ = PA′/PA = r/ds = √(ε′² + η′²) / √(ε² + η²) → k₁ = (a²·cos²u + b²·sen²u) / √(cos²u + sen²u) → k₁² = a²·cos²u + b²·sen²u.

Deformación angular: condiciones de conformidad: transformación circular (= 0 ≠ escala); A′ contenido en PA → u′ = u → b/a = 1; no hay direcciones principales.

tgu′ = η′/ε′; tgu = η/ε; tgu′/tgu = (η′/ε′)/(η/ε) = (η′·ε)/(η·ε′) = (b·senu·cosu)/(a·cosu·senu) = b/a.

tgu′ = (b/a)·tgu   (b < a)

tg(u′ − u) = (tgu′ − tgu)/(1 + tgu′·tgu) = ((b − a)·tgu)/(a + b·tg²u)

Siempre que la deformación sea máxima, u y u′ son complementarios: u + u′ = π/2.

Máxima deformación angular: tg(u′ − u) = ((b − a)·√(a/b)) / (a + b·(a/b)) = (b − a)/(2·√(a·b)) (máxima deformación angular).

Deformación superficial: k₂ = dS′/dS = S_elipse/S_círculo = (π·a·b)/(π·ds²) = a·b; con ds = 1 (simplificando): k₂ = a·b. Si k₂ = 1 → a = 1/b → proyección equidistante.

Semiejes de la elipse de Tissot

(a + b)² = a² + b² + 2ab = k_1p² + k_1m² + 2k₂;

(a − b)² = a² + b² − 2ab = k_1p² + k_1m² − 2k₂.

Con k_1m = (f_φ² + g_φ²)^1/2 / p y k_1p = (f_λ² + g_λ²)^1/2 / r:

(a + b)² = (g_φ/p + f_λ/r)² + (f_φ/p − g_λ/r)²

(a − b)² = (f_φ/p + g_λ/r)² + (g_φ/p − f_λ/r)²

Propiedades de la proyección Transversa de Mercator (UTM)

El cilindro transverso es tangente al meridiano de la superficie de referencia; este es el origen de latitudes. Es una proyección conforme: conserva los ángulos y no tiene deformación angular (k₃ = 0). A lo largo de los meridianos, el módulo de deformación lineal (k_1m) es igual al módulo de deformación lineal a lo largo de los paralelos (k_1p): k_1m = k_1p.

• El meridiano central es autoconforme.
• Presenta simetría respecto al meridiano central.
• Se utiliza un factor de escala k₀ = 0,9996.
• No es equivalente ni equidistante.
• Amplitud de los husos: 6 grados, total de 60 husos.
• España se encuentra entre los husos 29, 30 y 31.
• Elipsoide de referencia: Hayford.