Apunts, resums, treballs, exàmens i problemes de Matemàtiques

Conceptes Fonamentals de Funcions

Funció: Igualtat entre variables x, y (y=f(x)) on per cada valor de x tenim un únic valor de y.

Domini: Conjunt de valors que podem donar a x per calcular y.

Recorregut: Conjunt de tots els valors que pren la variable dependent.

Continuitat: Si podem dibuixar el seu gràfic d’un sol traç.

Discontinuitat: Punts en què s’interromp el gràfic.

Creixent: Si la y puja.

Decreixent: Si la y baixa.

Constant: Si la y no varia.

Màxim: Si creix i immediatament després decreix (relatiu i absolut).

Mínim: Si decreix i immediatament després creix (relatiu i absolut).

Periodicitat: Si f(x) es repeteix cada cert interval.

Funció polinòmica: Podem donar qualsevol valor a x: domf(x)=R.

Teoremes Matemàtics Rellevants

Teorema

Explicació de la Multiplicació amb Nombres Enters

1. Exemple pràctic a l'aula de Primària amb (-2)·(-3):

Per contextualitzar el concepte, utilitzarem una situació problemàtica com la de l'ascensor:

"Un ascensor es troba a la planta baixa. Si baixa 2 pisos per minut, en quin pis es trobava fa 3 minuts?"

Ens situem al 0 (punt de partida). Multipliquem els pisos per minut (velocitat) pel temps. Com que baixa (velocitat negativa) i parlem d'un temps passat (temps negatiu), els dos factors són negatius. El resultat serà positiu, indicant que l'ascensor estava *per sobre* de la planta baixa.

Operació: (-2) · (-3) = +6

Resultat: L'ascensor es trobava al 6è pis.

Operacions amb Parells de Punts (Nombres Enters)

2. Siguin (2,6) i (9,4) dos parells

Conceptes Clau en Matemàtiques de Primària

1. Conversió de Simbologia de Nombres Enters

Per entendre els nombres enters, és fonamental saber com convertir una simbologia formada per un parell de nombres naturals entre claudàtors, com [(a,b)], en un únic nombre amb signe (positiu o negatiu) o sense signe, en el cas del zero. Per aconseguir-ho, realitzem el següent càlcul:

• El nombre enter m corresponent a la classe d’equivalència de (a,b) es representa com:
• m = 0, si a = b
• m = + (a - b), si a > b
• m = - (b - a), si b > a

Per exemple:

• 0 = [(0,0)]
• +1 = [(1,0)]
• -1 = [(0,1)]
• ...i així successivament.

2. Operacions amb Nombres Enters

a) Multiplicació de Nombres Enters Representats per Parells

Siguin (8, 3) i (2, 5) dos parells de punts que representen...

Examen Final: Didàctica de la Matemàtica

1. Definició de Guy Brousseau de Didàctica de la Matemàtica

La Didàctica de la Matemàtica és la ciència de les condicions de creació i difusió dels coneixements matemàtics. Cal entendre la creació no en el sentit de la primera aparició històrica, sinó com a recreació, és a dir, com el plaer de descobrir diferents formes i mètodes d'ensenyar matemàtiques.

2. Tipus de Coneixement Lògico-Matemàtic

El coneixement lògico-matemàtic és fruit d'una activitat interna del nen o nena, d'una abstracció reflexiva a partir de les relacions amb els objectes. El pensament dels alumnes d'Educació Primària (6-11 anys) és concret, per tant, no poden obtenir aquest coneixement per transmissió verbal....

Proporcionalitat

La proporcionalitat és la relació constant que tenen dues magnituds homogènies; és el quocient de dividir la primera per la segona o viceversa.

Raó de dos segments

És la raó dels valors numèrics que fan referència a la mateixa unitat. El segment 'a' conté dues vegades el segment 'b'. Quan el segment 'a' no pot contenir un nombre enter, però si una part, el valor numèric de la raó és fraccionari (a/b).

Teorema de Tales

Donades dues rectes 'r' i 'r'' que es tallen, es traça sobre aquestes un feix de rectes paral·leles. Els segments que concorren sobre les rectes 'r' i 'r'' són proporcionals. AB/A'B' = BC/B'C'.

Segments proporcionals

Dos segments rectes 'a' i 'b' són proporcionals a uns altres dos 'c' i 'd' quan ho...

PAC 1

Pregunta 1. Determinar el vèrtex, màxims i mínims

El conjunt factible és el triangle compacte de vèrtexs els punts (2,3), (8,0) i (5,-3). Per calcular-ho igualem x i y a 0. Per calcular els màxims i mínims substituïm els punts a la funció; el resultat més alt és el màxim i el més baix, el mínim. Si hi ha més d'un màxim o mínim, es diu que hi ha infinits punts de màxim/mínim en tots els punts del segment que uneix ambdós vèrtexs.

Pregunta 2. Determinar el valor de a: f(x,y)=ax+2y i busca màxims

Perquè f(x,y) tingui infinits punts de mínim en el segment que uneix els vèrtexs (2,2) i (3,0), hauria de ser paral·lela a aquest segment. També la imatge a la funció objectiu d'ambdós punts ha de ser la mateixa:

f(2,2) =...

La coma

La coma indica una pausa menor. Es posa en els casos següents:

• Per a separar elements (mots, frases, etc.) d'una enumeració, fora que hi hagi les conjuncions i, o o ni. Exemple: S'ha de menester un PC, una impressora, un mòdem i un vídeo.
• Davant i darrere d'un incís. Exemple: Recordeu que, per a obtenir el text complet dels articles, només ho heu de sol·licitar.
• Abans, després o abans i després d'un vocatiu.
• Darrere de conjuncions o locucions com ara per tant, en canvi, és a dir, etc. Exemple: Déu té tot el poder (natural i sobrenatural) i és el creador de totes les coses i, per tant, del dret i tot.
• Sempre que calgui desfer alguna ambigüitat o facilitar la lectura del text. Exemple: Finançaran els projectes les àrees d'Ecologia

Conceptes Fonamentals de Geometria

Definicions de Poliedres

• Poliedre: És un cos geomètric la superfície del qual es compon d'una quantitat finita de polígons plans.
• Prisma: Sòlid limitat per dos polígons paral·lels i iguals (anomenats bases) i per tants paral·lelograms com costats tinguin les bases (anomenats cares laterals).
• Piràmide: És un poliedre format per una base (qualsevol tipus de polígon) i tres o més cares que són triangles que convergeixen en un vèrtex comú.

Poliedres Regulars (Sòlids Platònics)

Els cinc poliedres regulars són:

• Tetràedre: Amb quatre cares triangulars i quatre vèrtexs.
• Cub o Hexàedre: Amb sis cares quadrades i vuit vèrtexs.
• Octàedre: Amb vuit cares triangulars i sis vèrtexs.
• Dodecàedre: Amb dotze cares

1. Definició de Vector

Un vector és un segment orientat. Un vector (p. ex., AB→) té les següents característiques:

• La direcció de la recta on es troba el segment que l'origina.
• El sentit en el qual orientem el segment que l'origina.
• El mòdul (o intensitat), igual a la mesura del segment que l'origina.
• L'origen, punt d'inici del vector.
• L'extrem, punt de finalització del vector.

2. Components d'un Vector

Els components d'un vector amb origen A(x₀, y₀) i extrem B(x, y) són el parell (x - x₀, y - y₀), i s'escriu així: AB→ = (x - x₀, y - y₀).

3. Mòdul d'un Vector

Donat un vector v = AB→, tal que els seus components són v = (x - x₀, y - y₀), el mòdul del vector v és la distància AB. El mòdul del vector v es representa...