Apunts, resums, treballs, exàmens i problemes de Matemàtiques

Conceptes Bàsics de Funcions i Rectes

Funció Lineal

Una funció lineal la podem expressar de la forma Y = m·x, en què m és un nombre. La seva gràfica és una línia recta que passa per l'origen de coordenades (0,0). El nombre m l'anomenem pendent. La funció és:

• Creixent si m > 0
• Decreixent si m < 0

Funció Afí

Una funció afí és de la forma Y = m·x + n, en què m i n són nombres. La seva gràfica és una línia recta.

• El nombre m és el pendent.
• El nombre n és l'ordenada a l'origen.

La recta talla l'eix Y en el punt (0,n).

Identificació de Rectes: Lineal o Afí

Quan la gràfica d'una equació és una recta:

• Si la recta passa per l'origen de coordenades, és una funció lineal (Y = m·x), i el seu pendent m és l'ordenada de x = 1.
• Si

Aproximació Rectangular Superior

I = h * max(f(x_i), f(x_i+1)), on h = (b-a)/n.

Aproximació Rectangular Inferior

I = h * min(f(x_i), f(x_i+1))

Regla Composta del Trapezi

Amb n intervals, necessitem n+1 punts.

I = (h/2) * (f(x_i) + f(x_i+1))

Per a punts equiespaiats:

I = h * [(f(x₀)/2) + Σ_i=1^n-1 f(x_i) + (f(x_n)/2)]

Mètode de Simpson

Per a punts equiespaiats:

I = (h/3) * (f(x₀) + 4f(x₁) + f(x₂))

Per a punts no equiespaiats, amb m intervals, necessitem 2m+1 punts (m = n/2):

I = (h_i/3) * (f(x_2i-2) + 4f(x_2i-1) + f(x_2i))

Si són equiespaiats:

I = (h/3) * [f(x₀) + 2Σ_i=1^m-1 f(x_2i) + 4Σ_i=1^m f(x_2i-1) + f(x_2m)]

Estimació de l'Error

E_h/2 = |I_h/2 - I_h| / (2^p - 1)

On:

• p = 2 per a la regla del trapezi
• p = 4 per al mètode de Simpson

E_h/2 = |I_h/2 - I_exacte|

Zeros de Funcions: Mètode

Divisió de Polinomis

Es posa en forma de divisió de tota la vida. Es busca un número que multiplicat pel primer que divideix doni el primer número de l'esquerra. Aquest número que trobem el multipliquem pels altres dos números que divideixen i els anem apuntant. Fem la resta dels números que hem obtingut amb els del principi. Anem repetint afegint números fins arribar a grau 2.

Ruffini

Dividir pel número que et donen canviant de signe (el de fora de la caixa). Es baixa el primer número i es multiplica pel de fora de la caixa i es fica el resultat a la dreta. Se suma el que hem posat amb el de dalt i anotem el resultat a baix, i així amb tots.

Arrel d'un Polinomi

Passar d'un polinomi fins a grau 1. Diverses solucions. Primer s'iguala a...

Fraccions i Equivalència

Fracció: Una fracció és una expressió a/b en què a i b són nombres enters que anomenem numerador (a) i denominador (b).

Fraccions equivalents: Dues fraccions a/b i c/d són equivalents, i ho escrivim a/b = c/d, si es compleix que: a·d = b·c.

Nombres Decimals

Els nombres decimals expressen quantitats amb unitats incompletes. Un nombre decimal té una part entera, situada a l'esquerra de la coma, i una part decimal, situada a la dreta.

Tipus de nombres decimals:

• Un nombre decimal és exacte quan té un nombre finit de xifres decimals.
• Un nombre decimal és periòdic si té infinites xifres decimals i, a més, una o diverses d'aquestes xifres es repeteixen periòdicament. La xifra o grup de xifres que es repeteix l'anomenem

Anàlisi de Funcions: Derivades i Extrems

Estudi de la Primera Derivada

1. Trobar el domini de la funció. Recorda que si és un polinomi (p. ex., 8x² + 4x - 3), el domini són tots els reals (ℝ).
2. Calcular la primera derivada (f'(x)) i trobar els valors de x on f'(x) = 0 o no existeix. Aquests són els punts crítics.
3. Crear una taula d'intervals utilitzant els punts crítics, les restriccions del domini i ±∞.
4. Substituir valors de prova dins de cada interval a la primera derivada f'(x):
   • Si f'(x) > 0 (+), la funció és creixent en aquest interval.
   • Si f'(x) < 0 (-), la funció és decreixent en aquest interval.
5. Assenyalar els màxims i mínims locals: hi ha un màxim si la funció canvia de creixent a decreixent, i un mínim si canvia de decreixent

Mètodes d'Estimació de la Supervivència

Es pot estimar la supervivència mitjançant quatre mètodes:

• Mètode directe.
• Mètode actuarial (NO és sinònim de mètode INDIRECTE).

Aquests dos primers es realitza un anàlisi de la supervivència per períodes de temps tancats.

• Mètode de Kaplan-Meier (més utilitzat).
• Estimació paramètrica (model exponencial). Aquest tipus de models els utilitzem en estudis de supervivència de poblacions bacterianes, de cultius cel·lulars, en simulacions demogràfiques i en radioactivitat.

Mètode Directe

- La mortalitat (M) i la supervivència (S=1-M) es calculen per a intervals significatius.

- En el càlcul de la mortalitat, els individus censurats s'eliminen del denominador (Per tant, s'exclouen del càlcul de...

Matrius

Matriu transposada: girar files i columnes. Matriu identitat: 1 a la diagonal principal i 0 als altres nombres. Suma de matrius: sumar cada nombre amb el seu equivalent. Matriu per escalar: multiplicar el nombre per tots els nombres de la matriu. Producte de dues matrius: producte escalar nombre de columnes per nombre de files. Determinant de la matriu: 1a i 2a fila i multiplicar (dona un nombre).

Matriu inversa: A^-1= 1/det(A)xÂ^t → A·A^-1=I. Rang de la matriu: el quadrat ≠ 0.

Sistemes d'equacions

Compatibles: Determinat (1 solució, Rang MAS = Rang MAM = num incògnites) // Indeterminat (infinites solucions, Rang MAS = Rang MAM ≠ num incògnites)

Incompatibles (sense solució): Rang MAS ≠ Rang MAM

Geometria Analítica

Equació de

CIRCUMFERÈNCIA:

• Equacions: 1. (x - x₀)² + (y - y₀)² = r²
• 2. x² + y² + Ax + By + C = 0

• Fòrmules varies: 1. arrel quadrada de [(x - x₀)² + (y - y₀)²]
• 2. centre = P₁ (x, y) + P₂ (x, y) / 2                                                                         [es suma "x + x" i "y + y"]
• 3. A = -2x₀  ;  B = -2y₀  ;  C = x₀² + y₀² - r²
• 4. |Ax + Bx + C| / arrel quadrada de[A² + B²]

- Si enunciat dona:  * centre i radi --> equació 1 directe

• * centre i punt --> calcular radi amb fòrmula                                                                      1 i equació 1
• * 2 punts diametralment oposats --> fòrmula 2,                               

Dos segments a i b són proporcionals a uns altres dos segments c i d si formen una proporció. Això es pot expressar d'aquesta manera:

a / c = b / d = k

k és la constant de proporcionalitat.

El teorema de Tales diu que si tallem dues rectes secants per diverses rectes paral·leles, els segments determinats en una de les rectes són proporcionals als corresponents segments de l'altra.

Dividir un segment en parts proporcionals

Per dividir un segment en parts proporcionals, hem de seguir aquests passos:

1. Tracem un segment a i una semirecta t amb origen en un dels extrems.
2. Col·loquem al damunt de t, i començant per l'origen, els segments b, c i d als quals han de ser proporcionals les parts en què dividirem a.
3. Tracem una recta r que passi per l'extrem

Operacions

X: agregació reiterada: com a molts grups d'una mateixa quantitat (ajunto la mateixa quantitat diverses vegades)
escalat: situació en la qual una quantitat augmenta o disminueix en proporció (escales, maquetes, planols, és el triple, proporcionalitat…)
Divisió: repartició igual (compartir, repartir, mesurar distàncies, massa, volum, temps)
inversa de la X: situació en la qual busquem quants subconjunts d'una mida concreta caben en un conjunt més gran (quants subgrups hi ha?, total de..?)

Característiques dels nombres

múltiples: enter és el producte d'un nombre per qualsevol altre
M(3): -12 -9 -3 0 3 6…
Divisors de n és aquell nombre pel qual es pot dividir n sense deixar residu
d(12): 1 2 3 4 6 12
d(7): 1 7 (propietat de múltiples...